# RDP 2020-01: Credit Spreads, Monetary Policy and the Price Puzzle Appendix B: Derivation of Estimators

Model:

B1 $π t = α + β X t − 1 + γ Z t − 1 + ε t$
B2 $X t = θ r t + ∈ t$
B3 $F t = E t ( π t + 1 ) = ω 1 X t − 1 + ω 2 Z t = ω 1 θ r t − 1 + ω 2 Z t + ω 1 ∈ t − 1$

OLS estimation equation:

$π t = ϕ 0 + ϕ 1 r t − 1 + v t$

OLS estimator:

$π t = α + ϕ 1 r t − 1 + γ Z t − 1 + ε t + β ∈ t − 1$
$ϕ 1 = β θ$
$ϕ ^ 1 = cov ^ ( r t − 1 , π t ) var ^ ( r t − 1 ) = cov ^ ( r t − 1 , α + ϕ 1 r t − 1 + γ Z t − 1 + ε t + β ∈ t − 1 ) var ^ ( r t − 1 ) = ϕ 1 var ^ ( r t − 1 ) var ^ ( r t − 1 ) + γ cov ^ ( r t − 1 , Z t − 1 ) var ^ ( r t − 1 ) = ϕ 1 + γ cov ^ ( r t − 1 , Z t − 1 ) var ^ ( r t − 1 )$

Romer and Romer estimation:

First-stage:

B4 $r t = ρ 0 + ρ 1 F t + m t$
B5 $r t = ρ 0 + ρ 1 ( ω 1 θ r t − 1 + ω 2 Z t + ω 1 ∈ t − 1 ) + m t$

Second-stage:

$π t = κ 0 + κ 1 m ^ t − 1 + ξ t$

Romer and Romer estimator:

$κ ^ 1 = cov ^ ( m ^ t − 1 , π t ) var ^ ( m ^ t − 1 ) = cov ^ ( m ^ t − 1 , α + ϕ 1 r t − 1 + γ Z t − 1 + ε t + β ∈ t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) = ϕ 1 cov ^ ( m ^ t − 1 , r t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) + γ cov ^ ( m ^ t − 1 , Z t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) = ϕ 1 cov ^ ( m ^ t − 1 , ρ 0 + ρ 1 F t − 1 + m ^ t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) + γ cov ^ ( r t − 1 + ρ ^ 0 − ρ ^ 1 F t − 1 , Z t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) = ϕ 1 var ^ ( m ^ t − 1 , m ^ t − 1 ) var ^ ( m ^ t − 1 ) + γ [ cov ^ ( r t − 1 , Z t − 1 ) − ρ ^ 1 cov ^ ( F t − 1 , Z t − 1 ) ] var ^ ( m ^ t − 1 ) = ϕ 1 + γ [ cov ^ ( r t − 1 , Z t − 1 ) − ρ ^ 1 cov ^ ( ω 1 X t − 2 + ω 2 Z t − 1 , Z t − 1 ) ] var ^ ( m ^ t − 1 )$

From Equation (B5) $\stackrel{^}{\mathrm{cov}}\left({r}_{t-1},{Z}_{t-1}\right)={\stackrel{^}{\rho }}_{1}{\omega }_{2}\stackrel{^}{\mathrm{var}}\left({Z}_{t-1}\right)$

$κ ^ 1 = ϕ 1 + γ [ ρ ^ 1 ω 2 var ^ ( Z t − 1 ) − ρ ^ 1 ω 2 var ^ ( Z t − 1 ) ] var ^ ( m ^ t − 1 ) = ϕ 1$